Rubik: el infinito en la palma de tu mano

Este es un post largo pero que recomiendo especialmente a los apasionados de los rompecabezas, los desafíos, las matemáticas y la geometría, la idea de infinito y para todo aquel que disfrute intentando expandir su mente.

El Cubo de Rubik (en adelante CR) es un rompecabezas muy popular que consiste en un cubo de 3x3x3 facetas coloreadas. Dado que es posible girar distintas secciones del cubo, la posición relativa de las facetas cambia. El objetivo del juego es conseguir restablecer la disposición original del cubo: cada cara integrada sólo por facetas de un mismo color.

Hasta aquí nada nuevo, supongo. Lo cierto es que aunque todos nosotros hemos tenido algún CR y lo hemos intentado resolver con más o menos éxito, son pocos los que saben todo lo que esconde este objeto que se ha convertido en un icono cultural. El CR lo inventó el húngaro Enrö Rubik en 1974, que lo llamó “Cubo Mágico”, y que fue comercializado en mayo de 1980 bajo su nombre definitivo. Se calcula que existen más de 300 millones de estos rompecabezas por todo el mundo, con lo que podríamos encontrarnos ante el juguete más popular de la historia. La sencillez y versatilidad del CR le convierte en un fabuloso y sorprendente artefacto matemático, como veremos enseguida.
Algunas otras curiosidades dignas de mención incluyen el hecho de que Enrö Rubik, gracias al éxito del juguetito, se convirtió en el primer multimillonario por cuenta propia en un país comunista. Otra anécdota curiosa tiene por protagonista a Patrick Bossert, quien en 1981, contando con sólo 12 años de edad, dio con un método para resolver el CR que publicó en un libro, del que se vendieron millón y medio de ejemplares en un año. Por cierto, en 1995 fundó una compañía para preparar equipos informáticos para el efecto 2000. Obviamente está forrado.

Pero esto son sólo detalles superficiales. El CR es realmente una puerta al vértigo y al infinito
En realidad, cuando Rubik construyó el primer cubo, no estaba pensando en fabricar el juguete superventas del siglo, sino que le interesaba más bien desarrollar la visión espacial de sus alumnos de arquitectura. Para ello se adentró en el desafío estructural de conseguir un cubo de 3x3x3 piezas que pudiesen moverse independientemente sin deshacer el poliedro. Cuando lo hubo acabado puso pegatinas de colores en cada faceta y se dejó llevar un rato dándole al cubo. Fue entonces cuando, al intentar recuperar la configuración primitiva se dio cuenta de que el asunto no era tan fácil…

Lo cierto es que un simple CR pude disponerse en la friolera de 43.252.003.274.489.856.000 permutaciones distintas, que se dice pronto. (Me vais a permitir de ahora en adelante escribir estos números tan grandes en notación científica; en este caso sería, aproximadamente 4.3 x 10E19, o sea, 4 con 19 ceros detrás). Más de 43 trillones de permutaciones; esto es un número casi inimaginable. Si en el instante del Big-Bang ya existiéramos y nos hubiesen dado un CR para sobrellevar la eternidad de forma que nos pusiéramos a girarlo, dotándole de una permutación distinta cada segundo, a día de hoy no habríamos alcanzado ni una centésima parte de todas las posibles permutaciones. Sólo de pensarlo pone los pelos de punta. Si tenemos en cuenta que de esos 43 trillones de disposiciones distintas sólo una corresponde con la solución del rompecabezas llegaremos a la inmediata conclusión de que intentar resolverlo girándolo al azar es una tarea, si bien posible, absolutamente inverosímil. Sabiendo esto, si cualquiera de los lectores ha resuelto alguna vez un CR, ya puede considerar que ha realizado una “proeza termodinámica”.

Lo normal, por lo tanto, es intentar resolver el CR mediante una estrategia, bien desarrollada mediante el ensayo o el error, bien aprendida previamente. Es importante darse cuenta de que las facetas centrales de cada cara son fijas y determinan el color que debe tener todo el cuadrado de 3×3 cuando se resuelva el cubo. Las demás facetas están en cubitos móviles que pueden ser de esquina (tres colores) o de arista (dos colores). En este enlace están las instrucciones para resolver un CR según uno de los métodos clásicos, el de las capas. Hay que familiarizarse un poco con la notación de los giros para aprender distintos trucos con los que situar los cubitos según nos interese, pero una vez superado el esfuerzo inicial comprobaréis que no es tan difícil, y con un poco de práctica se llega a automatizar. Básicamente consiste en resolver primero una de las caras (se empieza haciendo una cruz y luego se hacen las esquinas) para completar después la segunda y la tercera capa empleando las técnicas que se explican en el enlace.

Hay muchas otras técnicas de resolución del cubo que podréis encontrar en las páginas especializadas que enlazo más abajo. Aún no se ha demostrado cuál es el número mínimo de giros para resolver un CR en cualquier configuración, pero existen algoritmos teóricos que permiten hacerlo en 29 giros o en 40 cuartos de giro.

Existen cierto número de variantes del Cubo de Rubik típico 3x3x3 que aportan características muy interesantes sobre este tipo de rompecabezas.

Este es el Pocket Cube (CR 2x2x2) y es la versión simplificada del cubo clásico. Lógicamente el número de permutaciones es muy inferior (tan sólo poco más de 3 millones y medio, estaríamos únicamente 40 días a una permutación por segundo hasta hacerlas todas). Es posible resolver el Pocket Cube en un máximo de 11 giros completos o 14 cuartos de giro. La estrategia que hay que seguir en este caso es considerar el rompecabezas como un caso simplificado del cubo clásico que no tiene casillas centrales ni cubitos de arista. Paradójicamente la resolución de este cubo puede resultar complicada incluso para alguien que esté familiarizado con el cubo 3x3x3 ya que las casillas centrales son fundamentales como referencia.

A la versión 4x4x4 del Cubo de Rubik se le conoce como Rubik’s Revenge. El número de permutaciones posibles se incrementa de forma considerable superando las 7.4 x 10E45. Eso son más de 20.000 veces el número de átomos que hay en la Tierra. Acojonante ¿verdad? Resolver este cubo no es tarea imposible para quien domine el cubo clásico. En cada cara hay cuatro casillas centrales. Si en una primera fase se consiguen resolver esas 4 casillas centrales de cada cara, después el cubo se resuelve como un 3x3x3 clásico.

La siguiente vuelta de tuerca es el Cubo de Rubik 5x5x5, conocido como Professor’s Cube, con una cantidad de permutaciones calculada en 2.8 x 10E78. Me resulta imposible concebir un número tan grande: es apenas unos órdenes de magnitud inferior al volumen estimado del universo en metros cúbicos. La forma de resolverlo, como os podéis imaginar, pasa por resolver los cuadrados de 3×3 de cada cara.
El 23 de mayo de 2006, Panagiotis Verdes presentó oficialmente el primer cubo 6x6x6 (que fue resuelto ese mismo día por uno de los campeones de estos rompecabezas, Frank Morris, en 5 minutos y 37 segundos) y ha prometido trabajar en cubo 7x7x7, aunque ya existen algunos «prototipos».

Existen algunos otros rompecabezas cúbicos con variaciones matemáticas interesantes:

El Skewb es parecido a un CR pero el eje de rotación pasa por los vértices en lugar de por los centros. Como consecuencia de ello se convierte en un deep-cut puzzle (¿rompecabezas de corte profundo?), lo que significa que un giro provoca cambios en las 6 caras del cubo, cosa que no ocurre con ningún CR.

El Square1 es un curioso cubo que además de permutar los colores de sus distintas teselas juega con los cambios de forma. A pesar de su aspecto diabólico sólo encierra una potencialidad de 500.000 millones de permutaciones, por lo que es teóricamente (sólo teóricamente) más sencillo que un CR 3x3x3.

Finalmente hay rompecabezas inspirados en los demás sólidos perfectos. De izquierda a derecha: El Pyraminx (un tetraedro) que con sólo 11.520 configuraciones es el puzzle más sencillo de este tipo. El Skewb Diamond (octaedro), con más de 138.000 permutaciones también es bastante sencillo, y como curiosidad es “de corte profundo”, como el Skewb cúbico. El Megaminx es un dodecaedro, y hay versiones de 6 y de 12 colores. A pesar del aspecto, su dificultad no es exagerada (similar a un CR 3x3x3). Finalmente, el Dogic representa al más complejo de los sólidos perfectos: el icosaedro. Hay versiones de 2, 5, 10, 12 y de 20 colores, todas ellas sin mucha complicación a pesar de lo que pueda parecer.

Estos son sólo algunos ejemplos, ya que hay muchas más variantes de estos rompecabezas geométricos. Si os interesan encontraréis mucho entretenimiento a poco que hurguéis por Internet. Resolver los cubos y demás rompecabezas es sólo el principio: hay infinidad de posibilidades, de patrones geométricos etc. Una vez que la solución del problema no alberga ya secretos (no es mi caso, os lo aseguro) la gente empieza a competir por resolverlos en el mínimo tiempo posible (speedcubing), con una sola mano (single-handed) y con los ojos vendados (blind-folded).

En este enlace encontraréis videos de cerebritos que resuelven cubos en las distintas modalidades “oficiales” que os he mencionado. Algunos de ellos son verdaderamente espectaculares y quizá así os convenzáis de que sí que es posible, por ejemplo, resolver uno de esos llamativos CR 5x5x5. No os perdáis el del tío que resuelve un 4x4x4 con los ojos vendados.

Aquí tenéis varios simuladores de CR (uno, dos y tres)

Una referencia fundamental sobre el Cubo de Rubik en el Internet hispanohablante: El Cubo de rubik de la A a la Z

Aquí hay material muy completo sobre todos los rompecabezas poliédricos

En speedcubing.com tenéis mucha información sobre récords

Posiblemente ésta sea la página definitiva para obtener información y métodos de resolución de todos los rompecabezas de los que he hablado además de todos los enlaces que podáis imaginar: la página de Jaap (en inglés)

¡Ah!, y por inspiración de Pitu, aquí una página de un robot que lo resuelve

¿Queréis más? He estado reservando lo más espectacular para el final. Os presento un Cubo de Rubik 3x3x3x3, es decir, un Hipercubo de Rubik (un cubo en 4 dimensiones). A la izquierda en configuración resuelta y a la derecha desordenado. Podéis jugar con él en su página oficial. Por supuesto se trata de una proyección, primero en 3-D y luego en 2-D, pero se puede girar y manipular muy bien. Supongo que para quien no esté acostumbrado a imaginarse cuerpos en 4-D esto puede resultar demasiado abstracto. Si os interesa leed el enlace de la Wikipedia. Lo fundamental es que en esencia son varios Cubos de Rubik 3x3x3 que al “girarse” intercambian cubitos entre sí.

El número de permutaciones de este juguetito es de unas 1.76 x 10E120, lo que supone un incremento en órdenes de magnitud cualitativamente superior a cuando íbamos añadiendo cubitos en 3-D. A pesar de la magnitud de esta cifra, nos aseguran sus creadores que sabiendo resolver el CR clásico ya se tiene la mitad del trabajo hecho. No por ello debe dejar de asombrarnos: la cantidad de disposiciones es casi un mol de googoles. Esta cifra es tan inmensa que supera con mucho el número de átomos que se estima que hay en todo el universo. Ahí queda eso.

Bueno, no, no queda ahí. De hecho hay simulaciones de un Cubo de Rubik en 5 dimensiones (3x3x3x3x3) en esta página web (hay que descargarse un programa).

Si os hacéis una idea de cómo era el Hipercubo de Rubik, sustituid cada cubito por un pequeño hipercubo y tendréis un CR 5-D. Según su página oficial, hay 6 personas que lo han resuelto. Ni qué decir tiene que si alguno de vosotros lo consigue os invito a lo que me pidáis, aunque quizá después de tanta abstracción os apetezca resolver con la gorra un análogo al CR pero en 2-D y así nos quedamos todos contentos.

Si has llegado hasta aquí, recibe mi felicitación.

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