Rerrúbik

Recientemente he ampliado mi colección de rompecabezas “tipo Rubik” o combinatorios, como los llama un buen artículo de la Wikipedia. No os vayáis a creer que soy un speedcuber de esos en mis ratos libres y que me dedico a bajar mi marca en el cubo de Rubik por debajo de los 20 segundos, para nada. Yo le doy al método de novatos (por capas), me tomo mi tiempo y no se me caen los anillos si tengo que mirar en la chuleta los algoritmos de turno porque no me acuerdo bien. Mi interés por estos rompecabezas empezaron con una mezcla de nostalgia infantil (mi primer recuerdo de un cubo de Rubik es el de la estantería del salón de mi tío en la nochevieja del año ochenta y pocos) y, por qué no decirlo, porque son estéticamente muy bonitos, con su mezcla de sobriedad geométrica y alegría colorista. Los más viejos del lugar recordarán un post de esta santa casa dedicado al famoso cubo de Rubik y sus variantes. La documentación para esa entrada me hizo aprender muchas cosas interesantes sobre el tema, y me sigue fascinando la infinidad de permutaciones posibles que pueden darse con un cacharrito aparentemente tan sencillo. Igualmente es impresionante la cantidad de variaciones que se han hecho sobre el mismo tema, cada cual con propiedades distintas. Desde entonces he ido adquiriendo algunos de estos rompecabezas para pasar el tiempo de vez en cuando y seguir aprendiendo sobre sus propiedades. Quería aprovechar la ocasión de que me ha llegado alguno nuevo para comentar algunas cosas curiosas.

Mi colección

La primera es que no siempre la apariencia del rompecabezas nos dice con precisión cómo de difícil es. Por ejemplo, tomemos la serie de los rompecabezas cuboides regulares, análogos al cubo de Rubik básico (3x3x3).

Serie de los cuboides regulares

Para empezar, recordemos que el cubo de Rubik clásico tiene un total de 4.3x10E19 combinaciones posibles. Si intentásemos resolverlo con un ataque de fuerza bruta fracarsaríamos estrepitosamente. Por ejemplo, probando aleatoriamente distintas combinaciones cada segundo, y suponiendo que no repetimos ninguna, tardaríamos más de 90 veces la edad del universo en conseguir todas las combinaciones posibles, por lo que no parece una solución muy buena. Lo normal, que por algo nos jactamos de nuestra inteligencia, es descubrir bien por ensayo y error, bien aprediéndolo por algún medio, una serie de algoritmos que nos permiten permutar la posición de determinados cubos.

La primera observación que hay que hacer es que las teselas centrales de cada cara son inmóviles, así que nos sirven de referencia para resolver el rompecabezas. ()la cara verde siempre es la cara verde, etc. De aquí se desprende otra observación de la que mucha gente no se da cuenta de inmediato: una cara del cubo NO está resuelta cuando queda del mismo color, sino cuando todas las piezas de esa capa (que no cara), están correctamente colocadas de acuerdo con la pieza central de los cuadrados. Cada una de las piezas tiene una, y sólo una posición correcta.

Por eso el método más habitual de resolver el cubo (que no es, ni mucho menos, el óptimo) es la llamada “solución por capas” (detalladísimo tutorial aquí).

Solución por capas

Bien, ¿qué pasa cuando intentamos resolver otros cubos de esta serie? Tomemos por ejemplo el “Pocket cube” (2x2x2), de aspecto poco amenazador. Atendiendo al número de combinaciones posibles, el número, desde luego, es mucho menor (poco más de tres millones y medio). Se puede entender como una versión simplificada del cubo de Rubik sin piezas centrales y sin aristas. De hecho, los algoritmos para resolverlo son los mismos que los que se usan para mover las esquinas del 3x3x3. Puede que echemos de menos las piezas centrales de referencia, pero una vez que consideremos una de las esquinas como punto de partida, seremos capaces de deducir cuál es la posición definitiva de las otras siete. Aunque este cubo es mucho más sencillo que su hermano mayor, no es tan inmediato como cabría pensarse, y sin los algoritmos necesarios es igualmente casi imposible de resolver “por casualidad”.

Pocket cube

Mucho más interesante resulta conocer cuál es la estrategia para resolver los cubos de complejidad superior. Si nos atenemos sólo al número de combinaciones, el cubo 4x4x4 (Rubik’s Revenge) tiene la friolera de 7.4x10E45, más de veinticinco órdenes de magnitud por encima del cubo clásico, lo que lo hace significativamente más difícil de resolver, pero no tanto como podría pensarse. De hecho, se puede resolver empleando una estrategia ingeniosa que consiste en convertir el cubo 4x4x4 en un cubo 3x3x3: en primer lugar, se resuelven los cuadrados 2×2 de las seis caras. Esto no es demasiado complicado, pero como al ser un cubo “par”, no hay piezas centrales de referencia, así que hay que tomar la precaución de recordar la disposición original de los colores en cada cara. El segundo paso, que tampoco es demasiado complejo, es el de emparejar las aristas, aunque no se coloquen en su posición correcta. Una vez hecho esto, el cubo 4x4x4 se puede considerar equivalente a un cubo de Rubik normal.

Resolviendo el 4x4x4. Primero resolvemos las cuatro posiciones centrales de cada cara y luego se emparejan las aristas, sin que importe si están bien colocadas. Ahora tenemos un cubo 3x3x3

Sin embargo, hay una propiedad muy curiosa exclusiva de los cubos pares (4x4x4, 6x6x6, 8x8x8 etc) que surge cuando se intentan resolver mediante este método. En tres cuartas partes de los intentos, algunas piezas estarán colocadas incorrectamente, por ejemplo…

Ejemplos de paridades de un cubo 4x4x4

Estas son las llamadas “paridades”, que como digo no aparecen en los cubos de número impar de piezas por lado. Hay algoritmos específicos para resolver las paridades, y una vez solventado el escollo el cubo estará resuelto. Me llama la atención que pese a que el número de combinaciones es tremendamente superior, este cubo presenta un nivel de dificultad sólo moderadamente mayor.

Algo parecido pasa con el cubo 5x5x5 (Professor’s cube). En cuanto a número de combinaciones el incremento es brutal: 2.8x10E74, comparable al volumen estimado del universo en metros cúbicos. Telita. De nuevo el incremento en complejidad es muy notable, pero no tan monstruoso como cabría esperarse a partir de la cantidad de órdenes de magnitud que ha aumentado el número de combinaciones. Una vez más, la estrategia a seguir (no quiere decir que sea la óptima, pero sí es relativamente fácil de recordar si uno le pone empeño) es convertir el cubo 5x5x5 en un cubo 3x3x3 (primero las caras centrales y luego emparejando aristas). Curiosamente, como decía antes, al ser un cubo impar no surgirán paridades al final.

Convirtiendo un cubo 5x5x5 en un cubo de Rubik ordinario

Pues bien, como os podéis imaginar es sólo cuestión de empeño poder resolver cualquier rompecabezas de la serie cuboide regular con esta misma estrategia (ver aquí solución NxNxN). En resumen: cada nivel adicional supone un incremento nada desdeñable de complejidad, pero que no es equivalente al aumento de número de combinaciones si uno tiene ya una estrategia para resolver el cubo de Rubik “normal”.

¿Qué pasa si examinamos otros rompecabezas distintos? Este de aquí es un megaminx:

Megaminx de doce colores, desordenado y resuelto

Es muy parecido al cubo de Rubik pero en versión dodecaedro. Su aspecto a primera vista es bastante descorazonador, y de hecho el número de combinaciones posibles es mayor que 1x10E68, sólo algunos órdenes de magnitud por debajo del cubo 5x5x5. Lo que me resulta curiosísimo, sin embargo, es que una vez que se dispone de alguna estrategia, el megaminx es realmente mucho más similar al 3x3x3 que al 4x4x4 o al 5x5x5. Es cierto que lleva más tiempo resolverlo (porque son 12 caras y otros tantos colores), pero intrínsecamente no es más complejo y al parecer muchos de los algoritmos para el cubo tienen sus equivalentes en el dodecaedro. Esta es otra curiosa lección, nada trivial, sobre la complejidad de estos rompecabezas: más que el número de combinaciones posibles, lo que le dota de complejidad es el número de capas. El megaminx, con sus caras cortadas dejando un pentágono central, equivalente al cuadrado central del cubo de Rubik, es un rompecabezas regular de tres capas y por lo tanto es equivalente al mismo en cuanto a complejidad. De hecho hay equivalentes de esta serie con 5, 7 y hasta 9 capas. ¿Por qué no de 4, 6 y 8? No estoy seguro, pero sospecho que no es posible hacer rompecabezas de esta serie sin pieza central.

El gigaminx (izquierda) es la versión de cinco capas del megaminx y tiene 6.3x10E245 combinaciones posibles.En el centro el teraminx (siete capas) y a la derecha el petaminx (9 capas). Me pregunto cuánta gente habrá en todo el mundo que haya resuelto estos rompecabezas.

Recientemente he hecho un par de adquisiciones.

Esto es un Pyraminx. En este caso es un tetraedro de tres capas, y su número total de combinaciones posibles es de menos de un millón. Se trata de un rompecabezas bastante sencillo, pero no (sólo) por el reducido número de combinaciones, sino por una serie de propiedades especiales que no son evidentes hasta que no se manipula un poco.

La primera es que las piezas de los vértices son triviales, es decir, que los giros permitidos no afectan en absoluto a la resolución del rompecabezas, porque su giro no afecta a ninguna otra tesela (vale, esta propiedad sí es bastante evidente). De hecho hay una versión de este rompecabezas sin vértices: el tetraminx. La otra propiedad es que las cuatro piezas axiales (que seon las que tocan los vértices y tienen tres caras), sólo pueden girar conforme a un eje, por lo que resulta muy fácil orientarlas en su posición definitiva. Eso nos deja con sólo seis piezas (las aristas) que deben ser permutadas, por lo que el rompecabezas nos parece mucho más fácil que a primera vista.

La última adquisición de la que quiero hablaros es es skewb:

Un precioso rompecabezas cúbico irregular. La gracia que tiene es que los ejes de rotación (cuatro en total) van de vértice a vértice y no de cara a cara. Es decir, este rompecabezas emplea los famosos ejes ternarios de simetría del cubo y consiguen figuras cúbicas con cada giro de 120º, mientras que los ejes el cubo de Rubik 3x3x3 son los ejes cuaternarios y conseguían figuras cúbicas con cada giro de 90º.

Girando el skewb

Este caprichoso diseño le da dos particularidades al rompecabezas: la primera es que, al contrario que los de la serie cuboide regular, este puzzle es «de corte profundo» (deep-cut). Qué es u deja de ser un rompecabezas «deep-cut» es un asunto que fascina a los aficionados del tema, y auqnue parece que no hay una definición que satisfaga a todos, se consideran de este tipo los rompecabezas cuyos planos de giro pasan por un mismo punto (el centro del poliedro), cosa que ocurre con el skewb, pero no con los cuboides regulares de Rubik. La segunda consecuencia es que este es el único rompecabezas combinatorio que conozco en el que un sólo giro afecta a todas las caras del poliedro, y esto lo hace un poco puñetero, por lo menos al principio.

A pesar de todo, el skewb consta sólo de tres millones y pico de combinaciones, por lo que debería ser muy sencillo de resolver, sin embargo a mí me resulta más difícil que el 2x2x2, poniendo de manifiesto una vez más que el número de combinaciones no es por sí solo un buen indicador de la dificultad del rompecabezas.

Hasta aquí las novedades de la colección. En otro momento intentaré echarle el cable a otros rompecabezas que dan un giro de tuerca más al asunto cambiando no sólo los colores de las caras del poliedro, sino también la forma del mismo: la serie del Square-1 y del Master-Pyramorphix.